Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）若满足，求实数的值；

（Ⅱ）讨论的极值点的个数；

（Ⅲ）若（）是的一个极值点，且，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，无极值点；当或时，有个极值点；（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）对求导，由构建方程，求得的值；

（Ⅱ）对求导，利用分类讨论思想讨论在当，，时的单调性，进而分析极值点的个数；

（Ⅲ）由，可得，此时由（Ⅱ）可知其两个极值为-2和时，又（）是的一个极值点，则，即可表示，进而由换元法令，构造新的函数利用导数证明此时的不等式即可.

（Ⅰ）.

，所以.

（Ⅱ）

当时，令，解得，.

①当时，，

当变化时，，的变化如下表

	↗	极大值点	↘	极小值点	↗

所以有2个极值点.

②当时，，此时恒成立且不恒为

在上单调递增，无极值点.

③当时，，

当变化时，，的变化如下表

	↗	极大值点	↘	极小值点	↗

所以有2个极值点.

综上所述：当时，无极值点；当或时，有个极值点

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若是的一个极值点，则.

又，即.

.

.

令，则，.

则，令，解得或.

当在区间上变化时，，的变化如下表

	↗	极大值点	↘

在上单调递增；在上单调递减

，即

.