Question

已知函数f（x）=2lnx+

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2

x²，g（x）=3x+b-1．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x），
（ⅰ）求函数y=F（x）的单调区间；
（ⅱ）若方程F（x）=0有3个不同的实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，可得切线斜率，即可得出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）（ⅰ）求导数，利用导数的正负，即可求函数y=F（x）的单调区间；
（ⅱ）方程F（x）=0有3个不同的实数根，则极大值大于0，极小值小于0，即可求实数b的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）对f（x）=2lnx+

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x²，求导得，y′=

2

x

+x，当x=1时，f′（1）=3
又∵切点为（1，

1

2

），∴切线方程为y-

1

2

=3（x-1）
即6x-2y-5=0；
（Ⅱ）依题意得F（x）=2lnx+

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2

x²-3x-b+1（x＞0）
（ⅰ）F′（x）=

(x-1)(x-2)

x

由F′（x）＞0，可得x＞2或0＜x＜1，
由F′（x）＜0，可得1＜x＜2．
∴函数F（x）0的单调递增区间为 （0，1）和 （2，+∞），单调递减区间为 （1，2 ）；
（ⅱ） 由（ⅰ）可知：当x变化时，F（x），F′（x）的变化情况如表

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
F′（x）	+	0	-	0	+
F（x）		- 3 2 -b		2ln2-3-b

∴当x=1时，F（x）有极大值，并且极大值为F（1）=-

3

2

-b；
当x=2时，F（x）有极小值，并且极小值为F（2）=2ln2-3-b
若方程F（x）=0有3个不同的实数根，则F（1）=-

3

2

-b＞0，F（2）=2ln2-3-b＜0
解得2ln2-3＜b＜-

3

2

．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．