题目内容

19．商场决定对某电器商品采用“提价抽奖”方式进行促销，即将该商品的售价提高100元，但是购买此商品的顾客可以抽奖．规定购买该商品的顾客有3次抽奖机会：若中一次奖，则获得数额为m元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m元的奖金；若中3次奖，则获得数额为6m的奖金．假设顾客每次中奖的概率都是$\frac{1}{3}$．设顾客三次抽奖后所获得的奖金总额为随机变量ξ．
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）若要使促销方案对商场有利，试问商场最高能将奖金数额m定位多少元？

分析 （Ⅰ）随机变量ξ的所有可能的取值为0，m，3m，6m，求出相应的概率，可得ξ的分布列；
（Ⅱ）欲求m的值，需要先求奖金总额的期望值，要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额即可．

解答 解：（Ⅰ）随机变量ξ的所有可能的取值为0，m，3m，6m．（单元：元）
ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P（ξ=0）=$（1-\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$
同理，P（ξ=m）=${C}_{3}^{1}•\frac{1}{3}•（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{12}{27}$，P（ξ=3m）=${C}_{3}^{2}•（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{2}{3}$=$\frac{6}{27}$，P（ξ=6m）=$（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
∴ξ的分布列是

 ξ 0 m 3m 6m
 P $\frac{8}{27}$ $\frac{12}{27}$ $\frac{6}{27}$ $\frac{1}{27}$
（Ⅱ）由顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值Eξ=0×$\frac{8}{27}$+m×$\frac{12}{27}$+3m×$\frac{6}{27}$+6m×$\frac{1}{27}$＜100，解得m＜75．
故m最高定为75元，才能使促销方案对商场有利．

点评 本题考查离散型随机变量的期望，考查学生的计算能力．属于中档题．

练习册系列答案
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