Question

9．已知x²+y²+4z²=1，则x+y+4z的最大值为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 首先分析题目已知x²+y²+4z²=1，求x+y+4z的最大值，可以联想到柯西不等式（a²+b²+c²）（e²+f²+g²）≥（ae+bf+cg）²的应用，构造出柯西不等式即可得到答案．

解答 解：由已知x，y，z∈R，x²+y²+4z²=1，和柯西不等式（a²+b²+c²）（e²+f²+g²）≥（ae+bf+cg）²
则构造出（1²+1²+2²）[x²+y²+（2z）²]≥（x+y+4z）²．
即：（x+y+4z）²≤6，当且仅当x=y=z时取等号．
即：x+y+4z的最大值为$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 此题主要考查柯西不等式的应用问题，对于不等式（a²+b²+c²）（e²+f²+g²）≥（ae+bf+cg）²应用广泛，需要同学们理解记忆．