Question

如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线 l 在y轴上的截距为m（m≠0），直线l交椭圆于A、B两个不同点（A、B与M不重合）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当MA⊥MB时，求m的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆方程为，
则，∴a²=8，b²=2
∴椭圆方程为…（6分）
（Ⅱ）依题意，…（7分）
可设直线l的方程为：y=，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
，
∵MA⊥MB，∴，
∴x₁x₂-2（x₁+x₂）+y₁y₂-（y₁+y₂）+5=0
∴x₁x₂+（）（x₁+x₂）+m²-2m+5=0…①
由y=代入椭圆方程，消y并整理化简得：x²+2mx+2m²-4=0
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，解得：-2＜m＜2…（10分）
由韦达定理得：x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4代入①得：（2m²-4）+（）×（-2m）+m²-2m+5=0…①
解得m=0或m=-…（12分）
∵点A，B异于M，∴m=-…（13分）
分析：（Ⅰ）设椭圆方程为，根据长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），建立方程组，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）依题意，设直线l的方程代入椭圆方程，整理并利用韦达定理，结合MA⊥MB，即，从而可求m的值．
点评：本题考查椭圆的性质及直线和圆锥曲线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中等题．