Question

在区间[0，1]上任意取两个实数a、b，则函数f（x）=

1

3

x³+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点的概率为（　　）

• A、

  7

  9

• B、

  5

  9

• C、

  4

  9

• D、

  2

  9

Answer 1

分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出函数 f(x)=

1

3

x3+ax-b在区间（-1，1）上有且仅有一个零点时（a，b）点对应的图形的面积，并将其代入几何概型的计算公式，进行求解．

解答：解：若函数 f(x)=

1

3

x3+ax-b在区间（-1，1）上有且仅有一个零点．
则f（-1）•f（1）＜0，
即(-

1

3

-a-b)•（

1

3

+a-b）＜0，
即b ＜a+

1

3

，
如下图，满足条件的（a，b）落在阴影上，
∵S_阴影=1-

1

2

•(

2

3

)2=

7

9

，
故选A．

点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=

N(A)

N

求解．