Question

【题目】已知函数，其中.

（1）若为单调递减函数，求的取值范围；

（2）若有两个不同的零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求出导函数，使，分离参数可得，设，利用导数求出的最小值即可求解.

（2），设，函数有两个不同的零点等价于函数有两个不同的零点，求出，分类讨论当、、或时，利用导数判断函数的单调性即可得出函数的零点个数，进而确定的取值范围.

解：（1）函数的定义域为.

∵，

∴.

若函数为单调递减函数，

则.

∴ 对恒成立.

设.

令，

解得.

∴.

令，解得，

令，解得，

函数在单调递减，在单调递增，

∴函数的最小值为.

∴，即的取值范围是.

（2）由已知，.

设，

则函数有两个不同的零点等价于函数有两个不同的零点.

∵，

∴当时，

函数在单调递减，在单调递增.

若函数有两个不同的零点，

则，即.

当时，

当时，.

当时，，

∵，

∴.

∴.

∴函数在，上各有一个零点.

故符合题意.

当时，

∵函数在单调递减，

∴函数至多有一个零点，不符合题意.

当时，

∵函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，

∴函数的极小值为.

∴函数至多有一个零点，不符合题意.

当时，

∵函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，

∴函数的极小值为.

∴函数至多有一个零点，不符合题意.

综上，的取值范围是.