Question

【题目】已知函数，其中e为自然对数的底数.

（1）若函数的极小值为，求的值；

（2）若，证明：当时，成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）求出函数的导数，分和两种情况讨论，当时可得到，令，根据函数的单调性求出a的值即可；

（2）要证原不等式即证，然后利用导数分别证明不等式和即可.

（1）函数的定义域是R，

时，对恒成立，

∴在R上单调递减，函数无极值，

时，令，解得：，

令，解得：，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴时，取极小值-1，

∴，即，

令，

则

∵，∴，∴在上单调递增，

∵，∴；

（2）∵，∴

∴，

令

∴，

令，，，

令，解得：，令，解得：，

故在上单调递减，在上单调递增，

∴时，取得极小值，

又∵，，

∴存在使得，

∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

∵，∴，

∴时，，即，

令，

则对于恒成立，

∴在上单调递增，

∴，即当时，，

∴时，，

∴

故时，成立.