Question

19．已知函数f（x）=2lnx+$\frac{{x}^{2}}{2}$+（5-m）x在（2，3）上单调递增，则m的取值范围为（　　）

• A． （-∞，5+2$\sqrt{2}$]
• B． （-∞，8]
• C． [$\frac{26}{3}$，+∞）
• D． （-∞，5+2$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 求出函数的导数，问题转化为m-5≤$\frac{2}{x}$+x在（2，3）恒成立，令g（x）=x+$\frac{2}{x}$，x∈（2，3），根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{2}{x}$+x+（5-m），
若f（x）在（2，3）递增，
则f′（x）≥0在（2，3）恒成立，
即m-5≤$\frac{2}{x}$+x在（2，3）恒成立，
令g（x）=x+$\frac{2}{x}$，x∈（2，3），
则g′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$＞0，
g（x）在（2，3）递增，
故g（x）＞g（2）=3，
故m-5≤3，解得：m≤8，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．