Question

（本小题满分14分）

如图， 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，，AA₁＝4，点D是AB的中点．

  （Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；

  （Ⅱ）求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，                                            …………………3分

又 AC⊥，且

∴ AC⊥平面BCC₁ ，又平面BCC₁         ……………………………………5分

∴ AC⊥BC₁             ………………………………………………………………6分

（Ⅱ）解法一：取中点，过作于，连接         …………7分

是中点，

∴ ，又平面

∴平面，

又平面，平面

∴

∴  又且

∴平面，平面         ………9分

∴  又

∴是二面角的平面角      ……………………………………11分

AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，

∴在中，，，

∴       …………………………………………13分

∴二面角的正切值为  …………………………………………14分

解法二：以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系…………7分

AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，

∴， ，，，

∴，

平面的法向量，     …………………9分

设平面的法向量，

则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角的大小  …………10分

则由   令，则，

∴                                          ………………11分

，则   　 ……………13分

∵二面角是锐二面角

∴二面角的正切值为              ………………………… 14分