Question

已知△ABC的三边分别为AB=5，BC=4，AC=3，M是AB边上一点，P是平面ABC外一点，给出下列四个命题：
（1）若PA⊥平面ABC，则三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形；
（2）若PM⊥平面ABC，M是AB边上中点，则有PA=PB=PC；
（3）若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，则点P到平面ABC是的距离为

23

；
（4）若PC=5，PC⊥平面ABC，则△PCM面积的最小值为

15

2

．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知易得AC⊥BC，（1）由线面垂直可判BC⊥平面PAC，可证△PBC为直角三角形，其它3个是明显的；
（2）可得可得MA、MB、MC分别为PA、PB、PC在平面ABC内的摄影线段，易判相等；
（3）由等面积可求得内切圆的半径r=1，由勾股定理可得点P到平面ABC是的距离d=2

6

；
（4）当CM取最小值时，△PCM面积取最小值，由等面积可求得CM=

12

5

，可得△PCM面积S=6

解答： 解：∵△ABC的三边分别为AB=5，BC=4，AC=3，
∴BC²+AC²=AB²，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，
（1）若PA⊥平面ABC，易得△ABC，△PAB，△PAC均为直角三角形，
对于△PBC，由PA⊥平面ABC可得PA⊥BC，又AC⊥BC，故BC⊥平面PAC，
可得BC⊥PC，故△PBC也为直角三角形，
∴三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形，故正确；
（2）若M是AB边上中点，则有MA=MB=MC，
再由PM⊥平面ABC可得MA、MB、MC分别为PA、PB、PC在平面ABC内的摄影线段，
∵必有PA=PB=PC，故正确；
（3）若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC内切圆的圆心，
则点P到平面ABC是的距离d与内切圆半径r满足d²+r²=PC²，
由等面积可得

1

2

×3×4=

1

2

r（3+4+5），解得r=1
∴点P到平面ABC是的距离d=

52-12

=2

6

，不是

23

，故错误；
（4）若PC=5，PC⊥平面ABC，则当CM取最小值时，△PCM面积取最小值，
而当CM⊥AB时，CM取最小值，由等面积可得

1

2

×5×CM=

1

2

×3×4，
解得CM=

12

5

，此时△PCM面积S=

1

2

×5×

12

5

=6，不是

15

2

，故错误．
故答案为：（1）（2）

点评：本题考查空间线面位置关系，涉及线面垂直和射影以及等积法，属中档题．