Question

长沙市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研.据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k＞0).现已知相距36 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a,b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km).

       (Ⅰ) 试将y表示为x的函数；

       (Ⅱ) 若a=1时，y在x=6处取得最小值，试求b的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）25.

【解析】（1）由污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，

利用正比例与反比例函数关系写出y用x表示的函数关系式，注意；（2）根据（1）的结论，利用导数研究函数的单调性，即求得b的值为25.

解：（Ⅰ） 设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，其中k为比例系数，且k＞0. ………………………………………………2分

从而点C处污染指数………………………4分

（Ⅱ） 因为a=1，所以，，……………………………………… 5分

y′=，…………………………………………………7分

令y′=0，得，……………………………………………………9分

当x∈时，函数单调递减；当x∈时，函数单调递增.

∴当时，函数取得最小值…………………………………… 11分

又此时x=6，解得b=25，经验证符合题意.

所以，污染源B的污染强度b的值为25…………………………………12分.