Question

长沙市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k（k＞0）．现已知相距36km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC=x（km）．
（Ⅰ）试将y表示为x的函数；
（Ⅱ）若a=1时，y在x=6处取得最小值，试求b的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 求出点C受A、B污染源污染指数，即可得到点C处污染指数；
（Ⅱ） 求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值与最值，进而可得结论．
解答：解：（Ⅰ） 设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，其中k为比例系数，且k＞0．…（2分）
从而点C处污染指数…（4分）
（Ⅱ） 因为a=1，所以，…（5分）
∴y′=，…（7分）
令y′=0，得，…（9分）
当x∈时，y′＜0，函数单调递减；当x∈时，y′＞0，函数单调递增．
∴当时，函数取得最小值…（11分）
又此时x=6，解得b=25，经验证符合题意．
所以，污染源B的污染强度b的值为25…（12分）
点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查函数的最值，属于中档题．