题目内容
（2012•济南二模）长沙市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k（k＞0）．现已知相距36km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC=x（km）．
（Ⅰ）试将y表示为x的函数；
（Ⅱ）若a=1时，y在x=6处取得最小值，试求b的值．
（Ⅰ）试将y表示为x的函数；
（Ⅱ）若a=1时，y在x=6处取得最小值，试求b的值．
分析：（Ⅰ） 求出点C受A、B污染源污染指数，即可得到点C处污染指数；
（Ⅱ） 求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值与最值，进而可得结论．
（Ⅱ） 求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值与最值，进而可得结论．
解答：解：（Ⅰ） 设点C受A污染源污染指数为
，点C受B污染源污染指数为
，其中k为比例系数，且k＞0．…（2分）
从而点C处污染指数y=
+
(0＜x＜36)…（4分）
（Ⅱ） 因为a=1，所以y=
+
，…（5分）
∴y′=k[-
+
]，…（7分）
令y′=0，得x=
，…（9分）
当x∈(0，
)时，y′＜0，函数单调递减；当x∈(
，+∞)时，y′＞0，函数单调递增．
∴当x=
时，函数取得最小值…（11分）
又此时x=6，解得b=25，经验证符合题意．
所以，污染源B的污染强度b的值为25…（12分）
| ka |
| x |
| kb |
| 36-x |
从而点C处污染指数y=
| ka |
| x |
| kb |
| 36-x |
（Ⅱ） 因为a=1，所以y=
| k |
| x |
| kb |
| 36-x |
∴y′=k[-
| 1 |
| x2 |
| b |
| (36-x)2 |
令y′=0，得x=
| 36 | ||
1+
|
当x∈(0，
| 36 | ||
1+
|
| 36 | ||
1+
|
∴当x=
| 36 | ||
1+
|
又此时x=6，解得b=25，经验证符合题意．
所以，污染源B的污染强度b的值为25…（12分）
点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查函数的最值，属于中档题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
