Question

6．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右焦点为F，过F且斜率为$\sqrt{3}$的直线交C于A、B两点，若$\overrightarrow{AF}$=4$\overrightarrow{FB}$，则C的离心率为（　　）

• A． $\frac{6}{5}$
• B． $\frac{7}{5}$
• C． $\frac{5}{8}$
• D． $\frac{9}{5}$

Answer 1

分析 设AF=4m，BF=m．过A，B分别做准线的垂线，垂足为A₁，B₁．由双曲线定义得可分别表示出|AA₁|和|BB₁|，过B做BD垂直于AA₁垂足D．根据直线的斜率可知∠ABD=30°进而求得|AD|和|AB|的关系求得e．

解答 解：设|AF|=4m，|BF|=m．
过A，B分别做准线的垂线，垂足为A₁，B₁．
由双曲线的第二定义得，
|AA₁|=$\frac{4m}{e}$．|BB₁|=$\frac{m}{e}$．过B做BD垂直于AA₁垂足D．
在△ABD中，∠ABD=30°，|AD|=$\frac{1}{2}$|AB|．
即$\frac{3m}{e}$=$\frac{1}{2}$×5m．
解得e=$\frac{6}{5}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查双曲线的离心率的求法，注意运用定义法，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．