Question

（本小题满分14分）

已知函数是奇函数.

（1）求实数的值；

（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；

（3）当时，函数的值域是，求实数与的值。

 

Answer 1

【答案】

（1）（舍去）或.此时函数定义域为 ，关于原点对称。

（2）由单调函数的定义得：当时，在上是减函数.

同理当时，在上是增函数.

（3），.

【解析】

试题分析：（1）由已知条件得

对定义域中的均成立.…………………………1分

即        …………………2分

对定义域中的均成立.    即（舍去）或.

此时函数定义域为 ，关于原点对称。      ……………4分

（2）由（1）得

设，

当时，

.                   ………………6分

当时，，即.………………7分

当时，在上是减函数. ……………………………8分

同理当时，在上是增函数. ……………………9分

（3）函数的定义域为，

① 当时， .

在为增函数，

要使值域为，则（无解）    ………………11分

②当时， .

在为减函数,

要使的值域为, 则

，.           ……………14分

考点：本题主要考查对数函数的性质，函数的单调性。

点评：综合题，本题以复合对数函数为载体，综合考查对数函数的性质，函数的单调性，函数的奇偶性，对考生数学式子变形能力要求较高。