题目内容
已知：F1，F2为
+
=1(a＞b＞0)的左右焦点，点A为椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限），
•
=0，|
|=2|
|，|
|=
．
（1）求此椭圆的方程．
（2）若P、Q是椭圆上的两点，并且满足(
+
)•
=0，求证：向量
与
共线．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AC |
| BC |
| BC |
| AC |
| AB |
| 10 |
（1）求此椭圆的方程．
（2）若P、Q是椭圆上的两点，并且满足(
| ||
|
|
| ||
|
|
| F1F2 |
| PQ |
| AB |
分析：（1）设|AC|=m，|BC|=2m，根据|
|=
，
•
=0，计算|AC|，利用△COA是等腰直角三角形，可得a2=4，C（1，1）代入
+
=1(a＞b＞0)，可得b2=
，从而可求椭圆的方程；
（2）设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，由
得（3k2+1）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0，从而可求PQ的斜率，利用kAB=
，所以PQ与AB平行，所以
与
共线．
| AB |
| 10 |
| AC |
| BC |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 4 |
| 3 |
（2）设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，由
|
| 1 |
| 3 |
| PQ |
| AB |
解答：（1）解：设|AC|=m，|BC|=2m
∵|
|=
，
•
=0，
∴m2+4m2=10
∴m=
∵△COA是等腰直角三角形
∴a2=4，C（1，1）
代入
+
=1(a＞b＞0)，可得b2=
∴椭圆的方程为
+
=1
（2）证明：设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，
由
得（3k2+1）x2-6k（k-1）x+3k2-6k-1=0
∴1×xp=
，
∴xp=
，
同理xQ=
，
∴kPQ=
=
=
=
而kAB=
，所以PQ与AB平行，所以
与
共线．
∵|
| AB |
| 10 |
| AC |
| BC |
∴m2+4m2=10
∴m=
| 2 |
∵△COA是等腰直角三角形
∴a2=4，C（1，1）
代入
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 4 |
| 3 |
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 4 |
| 3y2 |
| 4 |
（2）证明：设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，
由
|
∴1×xp=
| 3k2-6k-1 |
| 3k2+1 |
∴xp=
| 3k2-6k-1 |
| 3k2+1 |
同理xQ=
| 3k2+6k-1 |
| 3k2+1 |
∴kPQ=
| yP-yQ |
| xP-xQ |
| k(xP-1)+1+k(xQ-1)-1 |
| xP-xQ |
| k(xP+xQ-2) |
| xP-xQ |
| 1 |
| 3 |
而kAB=
| 1 |
| 3 |
| PQ |
| AB |
点评：本题以向量为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
的左右焦点，点A为椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限），
，
．
，求证：向量
与
共线．
=1（b＞0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点M，且∠MF1F2=30°，圆O的方程为x2+y2=b2．
的值．