Question

已知点F₁，F₂为双曲线C：x²-=1（b＞0）的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点M，且∠MF₁F₂=30°，圆O的方程为x²+y²=b²．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过圆O上任意一点Q（x，y）作切线l交双曲线C于A，B两个不同点，AB中点为M，求证：|AB|=2|OM|；
（3）过双曲线C上一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别是P₁和P₂，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定|MF₂|=b²，|MF₁|=2b²，由双曲线的定义可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2，从而可得双曲线C的方程；
（2）分类讨论：①当切线l的斜率存在，设切线l的方程代入双曲线C中，利用韦达定理，结合直线l与圆O相切，可得|AB|=2|OM|成立；②当切线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，即可得到结论；
（3）确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点P（x，y），求出点P到两条渐近线的距离，利用P（x，y）在双曲线C上，及向量的数量积公式，即可求得结论．
解答：（1）解：设F₂，M的坐标分别为（），（）（y＞0）-------------------（1分）
因为点M在双曲线C上，所以1+b²-=1，即，所以|MF₂|=b²------------（2分）
在直角△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，|MF₂|=b²，所以|MF₁|=2b²------------（3分）
由双曲线的定义可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2
故双曲线C的方程为：-------------------（4分）
（2）证明：①当切线l的斜率存在
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切线l的方程为：y=kx+n（k≠）
代入双曲线C中，化简得：（2-k²）x²-2knx-（n²+2）=0
所以|AB|==×-------------------（6分）
因为直线l与圆O相切，所以，代入上式，得|AB|=-----------（7分）
设点M的坐标为（x_M，y_M），则x_M=，y_M=，
所以|OM|=-------------------（8分）
即|AB|=2|OM|成立
②当切线l的斜率不存在时，A（），B（）或A（），B（）
此时|AB|=2，|OM|=，即|AB|=2|OM|成立-------------------（10分）
（3）解：由条件可知：两条渐近线分别为l₁：，l₂：-------------------（11分）
设双曲线C上的点P（x，y），则点P到两条渐近线的距离分别为，
所以=-------------------（13分）
因为P（x，y）在双曲线C上，所以
故=-------------------（14分）
设和的夹角为θ，则cosθ==-------------------（15分）
所以=cosθ=-------------------（16分）
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．