Question

已知：F₁，F₂为的左右焦点，点A为椭圆的右顶点，直线y=x与椭圆交于B、C两点（C在第一象限），，．
（1）求此椭圆的方程．
（2）若P、Q是椭圆上的两点，并且满足，求证：向量与共线．

Answer 1

【答案】分析：（1）设|AC|=m，|BC|=2m，根据，，计算|AC|，利用△COA是等腰直角三角形，可得a²=4，C（1，1）代入，可得，从而可求椭圆的方程；
（2）设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，由得（3k²+1）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0，从而可求PQ的斜率，利用，所以PQ与AB平行，所以与共线．
解答：（1）解：设|AC|=m，|BC|=2m
∵，，
∴m²+4m²=10
∴
∵△COA是等腰直角三角形
∴a²=4，C（1，1）
代入，可得
∴椭圆的方程为
（2）证明：设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k，
由得（3k²+1）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0
∴，
∴，
同理，
∴
而，所以PQ与AB平行，所以与共线．
点评：本题以向量为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．