Question

已知点F₁，F₂为双曲线C：x²-

y2

b2

=1（b＞0）的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点M，且∠MF₁F₂=30°，圆O的方程为x²+y²=b²．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过圆O上任意一点Q（x₀，y₀）作切线l交双曲线C于A，B两个不同点，AB中点为M，求证：|AB|=2|OM|；
（3）过双曲线C上一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别是P₁和P₂，求

PP1

•

PP2

的值．

Answer 1

分析：（1）确定|MF₂|=b²，|MF₁|=2b²，由双曲线的定义可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2，从而可得双曲线C的方程；
（2）分类讨论：①当切线l的斜率存在，设切线l的方程代入双曲线C中，利用韦达定理，结合直线l与圆O相切，可得|AB|=2|OM|成立；②当切线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，即可得到结论；
（3）确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点P（x₀，y₀），求出点P到两条渐近线的距离，利用P（x₀，y₀）在双曲线C上，及向量的数量积公式，即可求得结论．

解答：（1）解：设F₂，M的坐标分别为（

1+b2

，0），（

1+b2

，y0）（y₀＞0）-------------------（1分）
因为点M在双曲线C上，所以1+b²-

y02

b2

=1，即y0=b2，所以|MF₂|=b²------------（2分）
在直角△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，|MF₂|=b²，所以|MF₁|=2b²------------（3分）
由双曲线的定义可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2
故双曲线C的方程为：x2-

y2

2

=1-------------------（4分）
（2）证明：①当切线l的斜率存在
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切线l的方程为：y=kx+n（k≠±

2

）
代入双曲线C中，化简得：（2-k²）x²-2knx-（n²+2）=0
所以|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

×

8n2-8k2+16 (2-k2)2

-------------------（6分）
因为直线l与圆O相切，所以

|n|

1+k2

=

2

，代入上式，得|AB|=2

2

1+k2

×

k2+4 (2-k2)2

-----------（7分）
设点M的坐标为（x_M，y_M），则x_M=

kn

2-k2

，y_M=

2n

2-k2

，
所以|OM|=

2

1+k2

×

k2+4 (2-k2)2

-------------------（8分）
即|AB|=2|OM|成立
②当切线l的斜率不存在时，A（

2

，-

2

），B（

2

，

2

）或A（-

2

，-

2

），B（-

2

，

2

）
此时|AB|=2

2

，|OM|=

2

，即|AB|=2|OM|成立-------------------（10分）
（3）解：由条件可知：两条渐近线分别为l₁：

2

x-y=0，l₂：

2

x+y=0-------------------（11分）
设双曲线C上的点P（x₀，y₀），则点P到两条渐近线的距离分别为|

PP1

|=

| 2 x0-y0|

3

，|

PP2

|=

| 2 x0+y0|

3

所以|

PP1

||

PP2

|=

|2x02-y02|

3

-------------------（13分）
因为P（x₀，y₀）在双曲线C上，所以2x02-y02=2
故|

PP1

||

PP2

|=

2

3

-------------------（14分）
设

PP1

和

PP2

的夹角为θ，则由tan

π-θ

2

=

2

，可得cosθ=

1

3

-------------------（15分）
所以

PP1

•

PP2

=|

PP1

||

PP2

|cosθ=

2

9

-------------------（16分）

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．