Question

5．如图所示，PA，PB分别切圆O于A，B，过AB与OP的交点M作弦CD，连结PC，求证：$\frac{PC}{CM}=\frac{OD}{OM}$

Answer 1

分析 由相交弦定理知DM•CM=AM•MB=AM²．直角三角形AMO∽直角三角形PMA，所以$\frac{AM}{OM}$=$\frac{PM}{AM}$，进一步证明△CMP∽△OMD，即可证明结论．

解答 证明：因为PA、PB分别切圆O于点A、B，OP与AB交于M
所以OP垂直平分AB
又圆O中AB，CD交于M，
由相交弦定理知DM•CM=AM•MB=AM²．
连接OA，因为AP为圆O切线，所以∠OAP=90°
又∠AMP=90°，所以∠OAM+∠MAP=∠MAP+∠APM=90°
所以∠OAM=∠APM
所以直角三角形AMO∽直角三角形PMA
所以$\frac{AM}{OM}$=$\frac{PM}{AM}$
所以PM•OM=AM²，
又DM•CM=AM•MB=AM²，
所以PM•OM=DM•CM，
所以$\frac{PM}{CM}=\frac{DM}{MO}$，
又∠CMP=∠ODM
所以△CMP∽△OMD
所以$\frac{PC}{CM}=\frac{OD}{OM}$．

点评 本题考查相交弦定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．