Question

（本小题满分12分）    四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=，SA＝SB＝。

(1)证明：SA⊥BC；
(2)求直线SD与平面SAB所成角的大小；
(3）求二面角D-SA-B的大小．

Answer 1

（1）见解析；（2）；（3）.

（1）通过面面垂直找到与底面垂直的线SO，然后建立空间直角坐标系，利用向量法证明两条直线垂直；（2）利用向量法把直线与平面所成的角转化为已知直线向量与平面法向量的夹角，利用数量积知识求解夹角即可；（3）先求出两个平面的法向量，然后把二面角的大小问题转化为求两法向量的夹角问题。
证明：（1）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平
面． 因为，所以．
又，为等腰直角三角形，．如图，以为坐标原点，
为轴正向，建立直角坐标系 

，，，，，
，
，…所以．………………………4分
（2）取中点，，
连结，取中点，连结，．
，，．
，，
与平面内两条相交直线，垂直．
所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．，．
，所以 ，……………8分
（3）由上知为平面SAB的法向量，。易得
,
同理可求得平面SDA的一个法向量为 ………10分

由题知所求二面角为钝二面角，故二面角D-SA-B的大小为。………12分