Question

如图,已知四棱锥的底面是正方形,侧棱底面,,是的中点．
(1)证明平面；
(2)求二面角的余弦值．

Answer 1

解法一：(1)连结，设与交于点，连结.
∵底面ABCD是正方形，∴为的中点，又为的中点，
∴， ∵平面，平面，∴平面.
解法二：(1)以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则.
∴,设是平面的一个法向量,
则由 
∵，∴, ，∴
(2) 由(1)知是平面BDE的一个法向量，又是平面的一个法向量.设二面角的平面角为，由题意可知.
∴.

本试题考查了同学们空间想象能力，以及对于空间中的线面平行的判定定理和二面角的求解运用。即可运用几何方法，也可以运用空间向量法来解决。