Question

已知二次函数，f（x）=x²+ax（a∈R）．
（1）若函数的最大值为，求f（x）的最小值；
（2）当a=2时，设n∈N*，，求证：＜S＜2；
（3）当a＞2时，求证f（sin²xlog2sin²x+cos²xlog2cos²x）≧1-a，其中x∈R，x≠kπ且x≠kπ+（k∈z）

Answer 1

【答案】分析：（1）利用辅助角公式，我们可以确定函数的解析式，进而利用换无法，可将问题转化了一个二次函数在定区间上的最值问题，进而得到答案．
（2）由（1）中函数的解析式，利用数列求和的办法可以现S，再根据S的单调性，即可得到答案．
（3）由x∈R，x≠kπ且x≠kπ+，利用换元法我们可以将不等与左边对应的函数转化为f（t）=tlog₂t+（1-t）log₂（1-t），进而根据二次函数的性质，判断出其最值，并将问题转化为一个函数恒成立问题，最后得到结论．
解答：解：（1）令，∵x∈R，∴-2≤t≤2，，
当a＜0时，t=2时，，解得：，
此时，，∴．
当a≥0时，t=2时，，解得：
此时，，∴
综合上述，条件满足时，f（x）的最小值为（5分）
（2）∵=
设；
则
∴S（n）在n∈N^*时单调递增，∴
又∴∴综上有：成立．（5分）
（3））∵x∈R，x≠kπ且，∴sin²x，cos²x∈（0，1），
又sin²x+cos²x=1，故设t=sin²x，则有cos²x=1-t
设f（t）=tlog₂t+（1-t）log₂（1-t）（其中t∈（0，1））
令f'（t）=0，得
当时，f'（t）＜0，所以f（t）在（0，）单调递减，
当时，f'（t）＞0，所以f（t）在（，1）单调递增，
∴时f（t）取最小值等于
即有sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x≥-1
当日a＞2时，f（x）=x²+ax的对称轴，
∴f（x）在（-1，+∞）上单调递增，∴f（sin²xlog₂sin²x+cos²xlog₂cos²x）≥f（-1）=1-a（5分）
点评：本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，不等式的综合，三角函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．