Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数f′（x）=2x+2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点(n， Sn) (n∈N*)均在函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=2n•an，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知设函数f（x），结合导函数可求函数解析式，进而可得s_n，然后利用当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1，a₁=S₁，可求通项
（Ⅱ）由（I）可求b_n，然后利用错位相减可求数列的和

解答：解：（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx，f'（x）=2ax+b=2x+2，…（2分）
∴a=1，b=2，f（x）=x²+2x，
∴Sn=n2+2n…（4分）
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1，…（6分）
又a₁=S₁=3，适合上式，
∴a_n=2n+1…（7分）
（Ⅱ）∵bn=(2n+1)•2n，
∴Tn=3•21+5•22+7•23+…+(2n+1)•2n，…（9分）
∴2Tn=3•22+5•23+7•24+…+(2n+1)•2n+1，
相减得：-Tn=3•21+2•(22+23+…+2n)-(2n+1)•2n+1…（11分）
=6+2•

4•(1-2n-1)

1-2

-(2n+1)•2n+1．
∴Tn=(2n-1)•2n+1+2…（14分）

点评：本题主要考查了利用数列的和与项之间的递推关系求解数列的通项，及错位相减法求解数列的和的应用，要求考生熟练掌握基本方法．