Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率e∈[

2

，2]，在双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角为θ，则θ的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据双曲线的性质，可得e²=1+

b2

a2

，进而由题意中离心率的范围，可得

b

a

的范围，又由双曲线的性质可得tan

θ

2

=

b

a

，可得

θ

2

的范围，进而转化可得答案．

解答：解：根据题意，易得双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b；
由双曲线的意义，可得e²=

c2

a2

=

a2+b2

a2

=1+

b2

a2

，
由题意可得2≤1+

b2

a2

≤4，即1≤

b2

a2

≤3，化简可得1≤

b

a

≤

3

；
进而可得：tan

θ

2

=

b

a

，即1≤tan

θ

2

≤

3

，
进而可得

π

4

≤

θ

2

≤

π

3

；即

π

2

≤θ≤

2π

3

；
故答案为[

π

2

，

2π

3

]；

点评：本题考查双曲线的几何性质，注意离心率、渐近线方程与其标准方程之间的联系，能进行相互转化．