Question

7．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是C₁D₁，AB的中点，E在AA₁上且AE=2EA₁，F在CC₁上且CF=$\frac{1}{2}$FC₁，判断$\overrightarrow{ME}$与$\overrightarrow{NF}$是否共线？

Answer 1

分析 根据题意，结合平行六面体的结构特征，判断$\overrightarrow{ME}$与$\overrightarrow{NF}$是否能线性表示即可．

解答 解：在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
M，N分别是C₁D₁，AB的中点，
∴$\overrightarrow{{MD}_{1}}$=$\overrightarrow{NB}$；
又E在AA₁上且AE=2EA₁，F在CC₁上且CF=$\frac{1}{2}$FC₁，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=-$\overrightarrow{CF}$；
∴$\overrightarrow{ME}$=$\overrightarrow{{MD}_{1}}$+$\overrightarrow{{D}_{1}{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}E}$，
$\overrightarrow{NF}$=$\overrightarrow{NB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CF}$，
又$\overrightarrow{{D}_{1}{A}_{1}}$=-$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{ME}$=-$\overrightarrow{NF}$，
∴$\overrightarrow{ME}$与$\overrightarrow{NF}$共线．

点评 本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．