Question

（本小题12分）椭圆:的两个焦点为,点在椭圆上，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线过圆的圆心，交椭圆于两点，且关于点对称，求直线的方程。

Answer 1

（1）（2）

试题分析：
(Ⅰ)依题可设椭圆方程为,
因为点在椭圆上，所以 ，则    ……2分
在△中，， 故,
从而，
所以椭圆的方程为 .                                   ……4分
(Ⅱ)（解法一）设的坐标分别为。
已知圆的方程为,所以圆心的坐标为.
从而可设直线的方程为,
代入椭圆的方程得.……8分
因为关于点对称. 所以 且  
解得，所以直线的方程为 即
(经检验，所求直线方程符合题意)                                ……12分
（解法二）已知圆的方程为，故圆心为.
设的坐标分别为。
由题意 ①
  ②
由①－②得：       ③
因为关于点对称，所以，
代入③得， 即直线的斜率，              ……10分
所以直线的方程为，即
(经检验，所求直线方程符合题意.)                           ……12分
点评：直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线等）的位置关系是每年高考的重点也是难点，学生在复习备考时，要了解直线与圆锥曲线的位置关系问题的解决方法，尤其是通性通法和常用技巧，如设而不求、点差法等，另外还要注意计算能力的培养与训练，养成良好的运算习惯.