题目内容
在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC与不同的两点M,N,若
=m
,
=n
,m>0,n>0,则
+
的最小值为( )
AB |
AM |
AC |
AN |
1 |
m |
4 |
n |
分析:三点共线时,以任意点为起点这三点为终点的三向量,其中一向量可用另外两向量线性表示且其系数和为1.
+
=1的妙用会使问题简单化.
m |
2 |
n |
2 |
解答:解:∵点O是BC的中点,∴
=
(
+
)
又
=m
,
=n
,m>0,n>0∴
=
+
∵M、O、N三点共线,∴
+
=1
故
+
=(
+
)(
+
)=
+
+
≥
+2
=
当且仅当
=
,即m=
,n=
时取到等号,故
+
的最小值为:
故选C.
AO |
1 |
2 |
AB |
AC |
又
AB |
AM |
AC |
AN |
AO |
m |
2 |
AM |
n |
2 |
AN |
∵M、O、N三点共线,∴
m |
2 |
n |
2 |
故
1 |
m |
4 |
n |
1 |
m |
4 |
n |
m |
2 |
n |
2 |
5 |
2 |
n |
2m |
2m |
n |
5 |
2 |
|
9 |
2 |
当且仅当
n |
2m |
2m |
n |
2 |
3 |
4 |
3 |
1 |
m |
4 |
n |
9 |
2 |
故选C.
点评:本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用,解题的关键是根据已知向量的知识寻求基本不等式的条件,属基础题.

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