题目内容

在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC与不同的两点M,N,若
AB
=m
AM
AC
=n
AN
,m>0,n>0
,则
1
m
+
4
n
的最小值为(  )
分析:三点共线时,以任意点为起点这三点为终点的三向量,其中一向量可用另外两向量线性表示且其系数和为1.
m
2
+
n
2
=1
的妙用会使问题简单化.
解答:解:∵点O是BC的中点,∴
AO
=
1
2
(
AB
+
AC
)

AB
=m
AM
AC
=n
AN
,m>0,n>0
AO
=
m
2
AM
+
n
2
AN

∵M、O、N三点共线,∴
m
2
+
n
2
=1

1
m
+
4
n
=(
1
m
+
4
n
)(
m
2
+
n
2
)
=
5
2
+
n
2m
+
2m
n
5
2
+2
n
2m
2m
n
=
9
2

当且仅当
n
2m
=
2m
n
,即m=
2
3
,n=
4
3
时取到等号,故
1
m
+
4
n
的最小值为:
9
2

故选C.
点评:本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用,解题的关键是根据已知向量的知识寻求基本不等式的条件,属基础题.
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