Question

设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，若 f（1）＞1，f（2015）=

2a-3

a+1

，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的周期性

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：先根据周期性和奇函数，将f（2015）化成f（-1）=-f（1），然后根据已知条件建立关系式，解分式不等式即可求出实数a的取值范围．

解答： 解：由f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，
则f（x+3）=f（x），f（-x）=-f（x），
∴f（2015）=f（3×671+2）=f（2）=f（2-3）=f（-1）
=-f（1），
又f（1）＞1，∴f（2015）＜-1，
即

2a-3

a+1

＜-1，即为

3a-2

a+1

＜0，
即有（3a-2）（a+1）＜0，解得，-1＜a＜

2

3

．
故答案为：（-1，

2

3

）．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，周期性和奇偶性都是函数的整体性质，同时考查了分式不等式的求解，属于中档题．