Question

16．已知n=$\frac{6}{π}$${∫}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$-2x）dx，则x（1-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中的常数项为（　　）

• A． -60
• B． -50
• C． 50
• D． 60

Answer 1

分析 求定积分可得n=6，再利用二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项．

解答 解：n=$\frac{6}{π}$${∫}_{-1}^{1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$-2x）dx=$\frac{6}{π}$（${∫}_{-1}^{1}$ $\sqrt{{1-x}^{2}}$dx-${∫}_{-1}^{1}$2xdx）=$\frac{6}{π}$（arcsinx${|}_{-1}^{1}$-x²${|}_{-1}^{1}$）
=$\frac{6}{π}$（π-0）=6，
则x（1-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式中的通项公式是为 T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-2）^r•${x}^{1-\frac{r}{2}}$，
令1-$\frac{r}{2}$=0，求得r=2，可得常数项为${C}_{6}^{2}$•（-2）²=60，
故选：D．

点评 本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属基础题．