Question

已知函数f（x）=e^x+ax-1．
（I）求证：当a＞-1且x＞0时，f（x）＞0；
（Ⅱ）g（x）=e^x+2x²-x+k，若对任意x₁，x₂，x₃∈[-1，1]，长分别为g（x₁），g（x₂），g（x₃）的线段
能构成三角形，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）解得f′（x）=e^x+a，判断f′（x）=e^x+a＞0，求解出f（x）=e^x+ax-1在（0，+∞）单调递增，就容易判断了．
（Ⅱ）g′（x）=e^x+4x-1，由（Ⅰ），g′（0）=0，g′（x）=e^x+4x-1＞0对x＞0恒成立，
易得出g′（x）＜0时，x＜0，判断出函数在[-1，0]单调递减，[0，1]单调递增，g（x）_max=g（1）=e+1+k，
g（x）_min=g（0）=1+k＞0．列出e+1+k＜2k+2，即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+a，
即e^x＞1，且a＞-1，则f′（x）=e^x+a＞0，
∴f（x）=e^x+ax-1在（0，+∞）单调递增，
∵f（0）=0，
∴x＞0时，f（x）＞0恒成立．
（Ⅱ）任意x₁，x₂，x₃∈[-1，1]，均有g（x₁）+g（x₂）＞g（x₃），g（x₁），g（x₂），g（x₃）都为正值，
∴0＜g（x）_min，2g（x）_min＞g（x）_min，
∴g′（x）=e^x+4x-1，
由（Ⅰ），g′（0）=0，g′（x）=e^x+4x-1＞0对x＞0恒成立，
易得出g′（x）＜0时，x＜0，
故函数在[-1，0]单调递减，[0，1]单调递增，
∴g（x）_max=g（1）=e+1+k，
g（x）_min=g（0）=1+k＞0．
∴e+1+k＜2k+2，
k＞e-1，
故实数k的取值范围：k＞e-1，

点评：本题综合考查了函数的单调性的判断，运用导数求解单调性，最值，结合不等式求解即可，属于难题．