Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，m＝(cosA，cosC)，n＝(c－2b，a)且m⊥n.

(1)求角A的大小；

(2)若角B＝，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】本试题主要是考查了解三角形的运用，第一问中，利用向量的数量积公式得到(2b－c)cosA＝acosC，，然后利用正弦定理得到(2sinB－sinC)cosA＝sinAcosC,2sinBcosA

，化简结果为2sinBcosA＝sinB，，求解得到。第二问中，由(1)知A＝B＝，所以AC＝BC，C＝.

设AC＝x，则MC＝x，AM＝.利用余弦定理得到x＝2，利用面积公式表示为S_△ABC＝x²sin＝.

.解：(1)因为(2b－c)cosA＝acosC，

所以(2sinB－sinC)cosA＝sinAcosC,2sinBcosA

＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)，

则2sinBcosA＝sinB，

所以cosA＝，于是A＝.(6分)

(2)由(1)知A＝B＝，所以AC＝BC，C＝.

设AC＝x，则MC＝x，AM＝.

在△AMC中，由余弦定理得AC²＋MC²－2AC·MCcosC＝AM²，

即x²＋()²－2x··cos120°＝( )²，解得x＝2，

故S_△ABC＝x²sin＝.(12分)