Question

【题目】已知函数.

（1）若是函数的一个极值点，求实数的值；

（2）讨论函数的单调性.

（3）若对于任意的，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）根据是函数的一个极值点， 可得，即可求出（2）根据的导数，讨论当时，时，时，由导数大于0得增区间，导数小于0得减区间（3）根据的增减性，可知任意的的最大值为，不等式恒成立可转化为，构造函数，求其最大值即可求出m的取值范围.

（1）

因为是函数的一个极值点，所以，解得.

（2）因为的定义域是，

①当时，列表

	+	-	+
	增	减	增

在，单调递增；在单调递减.

②当时，，在单调递增.

③当时，列表

	+	-	+
	增	减	增

在，单调递增；在单调递减.

（3）由（2）可知当时，在单调递增，

所以在单调递增.

所以对于任意的的最大值为，

要使不等式在上恒成立，须，

记，因为，

所以在上递增，的最大值为，所以.

故的取值范围为.