Question

6．已知函数y=（log₂x-2）•（log₄x-$\frac{1}{2}$），2≤x≤8．
（1）令t=log₂x，求y关于t的函数关系式，并写出t的范围；
（2）求该函数的值域．

Answer 1

分析 （1）由t=log₂x，t=log₂x，可得log₄x=$\frac{1}{2}$t，1≤t≤3，代入可得y关于t的函数关系式；
（2）根据二次函数的图象和性质，可得函数的最值，进而得到函数的值域．

解答 解：（1）∵2≤x≤8，t=log₂x，
∴1≤t≤3，
则log₄x=$\frac{1}{2}$log₂x=$\frac{1}{2}t$，
故函数y=（log₂x-2）•（log₄x-$\frac{1}{2}$）=（t-2）•（$\frac{1}{2}t$-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+1$，1≤t≤3，
（2）由函数y=$\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+1$的图象是开口朝上，且以直线t=$\frac{3}{2}$为对称轴的抛物线，
故1≤t≤3时，
函数y=$\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+1$在[1，$\frac{3}{2}$]上为减函数，在[$\frac{3}{2}$，3]上为增函数；
故当t=$\frac{3}{2}$时，函数取最小值$-\frac{1}{8}$，
当t=3时，函数取最大值1，
故函数的值域为[$-\frac{1}{8}$，1]

点评 本题考查的知识点是二次函数的性质，对数的运算性质，是二次函数与对数函数的综合应用，难度中档．