Question

14．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AB⊥AC，AB=AC=1，AA₁=2，E、F、G分别是棱BB₁、B₁C₁、CC₁的中点．
（1）求证：AG∥平面A₁EF；
（2）求直线AG与平面BCC₁B₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）利用比例关系证明AG∥MN，然后通过直线与平面平行的判定定理证明AG∥平面A₁EF．   
（2）取BC中点H，说明∠AGH为直线AG与平面BCC₁B₁所成角，在Rt△AHG中求解直线AG与平面BCC₁B₁所成角即可．

解答 （1）证明：∵AA₁∥BB₁，∴$\frac{{B}_{1}M}{MA}=\frac{{B}_{1}E}{{AA}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∵B₁C₁∥BC，∴$\frac{{B}_{1}N}{NG}=\frac{{B}_{1}F}{EG}=\frac{1}{2}$
∴AG∥MN                          （2分）
∵MN?平面A₁EF，AG?平面A₁EF，
∴AG∥平面A₁EF．                   （5分）
（2）解：取BC中点H，由AB=AC，得AH⊥BC   ①
∵BB₁⊥平面ABC，AH?平面ABC，∴BB₁⊥AH  ②
由①②及BC∩BB₁=B，得AH⊥平面BCC₁B₁．
∴∠AGH为直线AG与平面BCC₁B₁所成角．        （8分）
Rt△ABC中，AB=AC=1，∴AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
Rt△AHG中，AC=GC=1，∴AG=$\sqrt{2}$．
∴Rt△AHG中，∠AGH=30°．
∴直线AG与平面BCC₁B₁所成角为30°．               （12分）

点评 本题考查直线与平面所成角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查计算能力．