Question

4．等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为4$\sqrt{2}$，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，求该椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 如图所示，建立直角坐标系．设点D是椭圆的另一个焦点．由等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为4$\sqrt{2}$，可得AC=AB=4，设AD=m，则DB=4-m，利用椭圆的定义可得：m+4=4$\sqrt{2}$+4-m，解得m．可得2a=m+4．在Rt△ACD中，由勾股定理可得：（2c）²=$（2\sqrt{2}）^{2}+{4}^{2}$=24，解得c．可得b²=a²-c²，即可得出．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系．
设点D是椭圆的另一个焦点．
∵等腰直角三角形ABC中，斜边BC长为4$\sqrt{2}$，
∴AC=AB=4，
设AD=m，则DB=4-m，
由椭圆的定义可得：m+4=4$\sqrt{2}$+4-m，
解得m=2$\sqrt{2}$．
∴2a=2$\sqrt{2}$+4，解得a=2+$\sqrt{2}$．
∴（2c）²=$（2\sqrt{2}）^{2}+{4}^{2}$=24，解得c=$\sqrt{6}$．
∴b²=a²-c²=4$\sqrt{2}$．
∴该椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{6+4\sqrt{2}}+\frac{{y}^{2}}{4\sqrt{2}}$=1．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．