Question

12．f（x）=$\frac{-{2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$是定义域为R的奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）单调性并证明；
（3）若对任意x∈[$\frac{1}{2}$，4]都有f（kx²）+f（2x-1）＞0成立，求x范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系即可求a，b的值；
（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）单调性并证明；
（3）根据函数奇偶性和单调性的关系，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0，即f（0）=$\frac{b-1}{2+a}$=0，解得b=1，
由f（-1）=-f（1），得$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1+a}$=-$\frac{1-2}{4+a}$，解得a=2，
故a=2，b=1；
则f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2+2•{2}^{x}}$=$-\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}+1}$
（2）f（x）为R上的减函数，证明如下：
设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）为减函数；
（3）若对任意x∈[$\frac{1}{2}$，4]都有f（kx²）+f（2x-1）＞0成立，
则等价为若对任意x∈[$\frac{1}{2}$，4]都有f（kx²）＞-f（2x-1）=f（1-2x）成立，
∵f（x）为R上的减函数，
∴不等式等价为kx²＞1-2x在x∈[$\frac{1}{2}$，4]恒成立，
即k＞$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$）²-2•$\frac{1}{x}$，
设g（x）=（$\frac{1}{x}$）²-2•$\frac{1}{x}$，
则g（x）=（$\frac{1}{x}$）²-2•$\frac{1}{x}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1，
∵x∈[$\frac{1}{2}$，4]，
∴$\frac{1}{x}$∈[$\frac{1}{4}$，2]，
∴当$\frac{1}{x}$=2，即x=$\frac{1}{2}$时，g（x）取得最大值，此时g（x）=0，
则k≥0．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断和证明，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法．