Question

3．如图，AB是圆O的直径，点C，D是圆O上异于A，B的点，CD∥AB，F为PD中点，PO⊥垂直于圆O所在的平面，∠ABC=60°．
（Ⅰ）证明：PB∥平面COF；
（Ⅱ）证明：AC⊥PD．

Answer 1

分析 由题意可得四边形ABCD是等腰梯形形，四边形ADCO，DOBC都是以半径为边长的菱形，
（Ⅰ）连接BD交OC于H，则H是BD中点，连接FH，即FH∥PB，可得PB∥平面COF
（Ⅱ）由四边形ADCO是以半径为边长的菱形，可得AC⊥CO，及PO⊥AC，可得AC⊥面POD，即可证AC⊥PD

解答 解：如图所示，∵AB是圆O的直径，∴△ABC是直角△，又，∠ABC=60°．
∴BC=$\frac{1}{2}AB$，又∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴四边形ABCD是等腰梯形形，
∴四边形ADCO，DOBC都是以半径为边长的菱形，
（Ⅰ）连接BD交OC于H，则H是BD中点，连接FH，
因为F为PD中点，∴FH∥PB，且PB?面COF，FH?平面COF
∴PB∥平面COF
（Ⅱ）∵四边形ADCO是以半径为边长的菱形
∴AC⊥CO，
∵PO⊥垂直于圆O所在的平面，∴PO⊥AC，且DO∩PO=O
∴AC⊥面POD，
∵PD?面POD，∴AC⊥PD

点评 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力 空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．