Question

15．设公差不为零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₄=2a₂+1，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{n+1}{{S}_{n}•{S}_{n+2}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过记等差数列{a_n}的公差为d，利用基本量表示出通项和前n项和，联立a₄=2a₂+1与S₁，S₂，S₄成等比数列可求出a₁=1、d=2，进而可得结论；
（2）通过（1）裂项可知c_n=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]，进而并项相加即得结论．

解答 解：（1）记等差数列{a_n}的公差为d，
由a₄=2a₂+1可知：a₁+3d=2（a₁+d）+1，
由S₁，S₂，S₄成等比数列可知$（2{a}_{1}+d）^{2}$=a₁（4a₁+6d），
解得：a₁=1、d=2或a₁=-1、d=0（舍），
所以a_n=2n-1；
（2）由（1）可知S_n=$\frac{（1+2n-1）•n}{2}$=n²，c_n=$\frac{n+1}{{S}_{n}•{S}_{n+2}}$=$\frac{n+1}{{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]，
所以T_n=$\frac{1}{4}$[1-$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$-$\frac{1}{{5}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]
=$\frac{1}{4}$[1+$\frac{1}{{2}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]
=$\frac{1}{4}$[$\frac{5}{4}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$-$\frac{1}{（n+2）^{2}}$]．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．