Question

19．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2，C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）当2sin2A+sin（2B+C）=sinC时，求△ABC的面积；
（Ⅱ）求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得2sinAcosA=sinBcosA，分类讨论分别求出a，b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．
（Ⅱ）由余弦定理及已知条件可得：a²+b²-ab=4，利用基本不等式可得（a+b）²=4+3ab≤4+3$\frac{（a+b）^{2}}{4}$，解得a+b≤4，从而可求周长的最大值．

解答 （本题满分为15分）
解：（Ⅰ）由2sin2A+sin（2B+C）=sinC，可得：4sinAcosA+sin（B-A）=sin（A+B），可得：2sinAcosA=sinBcosA，…3分
当cosA=0时，A=$\frac{π}{2}$，B=$\frac{π}{3}$，a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，…4分
当cosA≠0时，sinB=2sinA，由正弦定理b=2a，联立$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}-ab=4}\\{b=2a}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，…6分
故三角形的面积为S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$…7分
（Ⅱ）由余弦定理及已知条件可得：a²+b²-ab=4，…9分
由（a+b）²=4+3ab≤4+3$\frac{（a+b）^{2}}{4}$，可得：a+b≤4，…13分
故△ABC周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形时取得…15分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．