Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，若直线AB过F₁，与椭圆交于A，B两点，且|AB|=|BF₂|，AB⊥BF₂，则椭圆的离心率为$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由椭圆定义可得：|AB|+|BF₂|+|AF₂|=4a，设|AB|=|BF₂|=m，由于AB⊥BF₂，利用勾股定理可得：2m²=（4a-2m）²，（2a-m）²+m²=4c²，解出即可得出．

解答 解：由椭圆定义可得：|AB|+|BF₂|+|AF₂|=4a，
设|AB|=|BF₂|=m，∵AB⊥BF₂，
则2m²=（4a-2m）²，（2a-m）²+m²=4c²，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．