Question

设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。

（Ⅰ）、求椭圆的方程；

（Ⅱ）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。

（此题不要求在答题卡上画图）

Answer 1

解：（I）依题意得解得  从而,

故椭圆方程为。

（II）解法1：由（I）得A（-2，0），B（2，0）。设。

点在椭圆上，。

又点异于顶点，

由三点共线可得.

从面

将①式代入②式化简得

,.于是为锐角,从而为钝角,故点在以为直径的圆内.

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设P（4，）（0），M（，），N（，），则直线AP的方程为，直线BP的方程为。

点M、N分别在直线AP、BP上，

，.从而.③

联立消去得.

是方程得两根，∴（－2）．，即.  ④

又.   ⑤

于是由③、④式代入⑤式化简可得

.

N点在椭圆上，且异于顶点A、B，.

又，, 从而.

故为钝角，即点B在以MN为直径的圆内.

解法3：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（，），N（，），则－2<<2 , -2<<2.又MN的中点Q的坐标为，

化简得.                      ⑥

     直线AP的方程为，直线BP的方程为.

点P在准线上，

，即.                                  ⑦

又M点在椭圆上，，即                   ⑧

于是将⑦、⑧式化简可得.

从而B在以MN为直径的圆内.