Question

如图,圆O₁和圆O₂的半径都等于1,O₁O₂=4,过动点P分别作圆O₁、圆O₂的切线PM、PN(M、N为切点),使得PM=2PN.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.

Answer 1

解:以O₁O₂所在直线为x轴,以O₁O₂的中点O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.

∵|O₁O₂|=4,

∴O₁(-2,0),O₂(2,0).

∴圆O₁的方程为(x+2)²+y²=1,

圆O₂的方程为(x-2)²+y²=1.

设P(x,y),则

|PM|²=|PO₁|²-|O₁M|²

=(x+2)²+y²-1,

|PN|²=|PO₂|²-|O₂N|²

=(x-2)²+y²-1.

∵PM=PN,∴|PM|²=2|PN|².

∴(x+2)²+y²-1=2［(x-2)²+y²-1］.

整理,得x²+y²-12x+3=0.

∴(x-6)²+y²=33.