Question

（2012•海淀区二模）已知函数f（x）=

x+a

x2+3a2

（a≠0，a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，若对任意x₁，x₂∈[-3，+∞），有f（x₁）-f（x₂）≤m成立，求实数m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，分类讨论，由导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，由（Ⅰ）得f（x）是（-3，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数，对任意x₁，x₂∈[-3，+∞），有f（x₁）-f（x₂）≤m成立，等价于f（x）_max-f（x）_min≤m求实数m的最小值．

解答：解：求导函数，可得f′(x)=

-(x-a)(x+3a)

(x2+3a2)2

．
令f′（x）=0，解得x=a或x=-3a．
（Ⅰ）当a＞0时，f′（x），f（x）随着x的变化如下表

x	（-∞，-3a）	-3a	（-3a，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

函数f（x）的单调递增区间是（-3a，a），函数f（x）的单调递减区间是（-∞，-3a），（a，+∞）．
当a＜0时，f′（x），f（x）随着x的变化如下表

x	（-∞，a）	a	（a，-3a）	-3a	（-3a，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

函数f（x）的单调递增区间是（a，-3a），函数f（x）的单调递减区间是（-∞，a），（-3a，+∞）．
（Ⅱ）当a=1时，由（Ⅰ）得f（x）是（-3，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数．
又当x＞1时，f(x)=

x+1

x2+3

＞0．
所以f（x）在[-3，+∞）上的最小值为f(-3)=-

1

6

，最大值为f(1)=

1

2

．
所以对任意x₁，x₂∈[-3，+∞），f(x1)-f(x2)≤f(1)-f(-3)=

2

3

．
所以对任意x₁，x₂∈[-3，+∞），使f（x₁）-f（x₂）≤m恒成立的实数m的最小值为

2

3

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．