如图是f(x)=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$cos的部分图象.下列说法错误的是( )A．函数f(x)的最小正周期是$\frac{12}{5}$B．函数g(x)=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sin\frac{5π}{6}$x的图象可由函数f(x)的图象向右平移$\frac{2}{5}$个单位得到C．函数f(x)图象的一个对称中心� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．如图是f（x）=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$cos（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，下列说法错误的是（　　）

	A．	函数f（x）的最小正周期是$\frac{12}{5}$
	B．	函数g（x）=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sin\frac{5π}{6}$x的图象可由函数f（x）的图象向右平移$\frac{2}{5}$个单位得到
	C．	函数f（x）图象的一个对称中心是（-$\frac{4}{5}$，0）
	D．	函数f（x）的一个递减区间是（5，$\frac{31}{5}$）

分析根据图象过（0，1），（2，0）求出ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；根据函数解析式之间的关系判断各选项即可得结论．

解答解：根据图象可知，f（x）=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$cos（ωx+φ）（ω＞0）的图象过（0，1），（2，0）
可得：f（0）=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$cos（φ）=1，解得：φ=$\frac{π}{6}$+2kπ或φ=-$\frac{π}{6}$+2kπ，（k∈Z）
f（2）=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$cos（2ω+$\frac{π}{6}$）=0，解得ω=$\frac{π}{6}$+kπ或ω=$\frac{π}{3}$+kπ．
当k=-1时，|ω|为：$\frac{5π}{6}$，周期T=$\frac{2π}{|-\frac{5π}{6}|}$=$\frac{12}{5}$．故A对．此时可得f（x）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos（$-\frac{5π}{6}x+\frac{π}{6}$）．
函数g（x）=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sin\frac{5π}{6}$x的图象向右平移$\frac{2}{5}$个单位可得：$\frac{2\sqrt{3}}{3}sin[\frac{5π}{6}（x-\frac{2}{5}）]=\frac{2\sqrt{3}}{3}sin（\frac{5π}{6}x-\frac{π}{3}）$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos（$-\frac{5π}{6}x+\frac{π}{6}$）．故B对．
当x=-$\frac{4}{5}$时，函数f（$-\frac{4}{5}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos（$\frac{5π}{6}×\frac{4}{5}+\frac{π}{6}$）．=$\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=1，故C不对．
由f（x）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos（$-\frac{5π}{6}x+\frac{π}{6}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cos（$\frac{5π}{6}x-\frac{π}{6}$）．
令0+2kπ≤$\frac{5π}{6}x-\frac{π}{6}$）≤π+2kπ，
可得：$\frac{1}{5}+\frac{12}{5}k≤x≤\frac{7}{5}+\frac{12}{5}k$，（k∈Z）
当k=2时，可得$5≤x≤\frac{31}{5}$是单调递减．故D对．
故选C．

点评本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．