Question

20．给定两个命题，命题p：对任意实数x都有ax²＞-ax-1恒成立，命题q：关于x的方程x²-x+a=0有实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以p，q中有且仅有一个为真命题．进而可得实数a的取值范围．

解答 解：若p为真命题，则a=0或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\{a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$．
即0≤a＜4；
若q为真命题，则（-1）²-4a≥0，即a≤$\frac{1}{4}$．
因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
所以p，q中有且仅有一个为真命题．
若p真q假，则$\frac{1}{4}$＜a＜4；
若p假q真，则a＜0．
综上，实数a的取值范围为（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，4）．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数的恒成立问题，方程根的存在性及个数判断等知识点，难度中档．