Question

数列满足，，其中，．
①当时，_____；
②若存在正整数，当时总有，则的取值范围是_____.

Answer 1

.；.

①当λ=0时，a_n+1=a_n，利用累积法求通项公式后，再求a₂₀即可．
②记b_n=（n=1，2，…），则λ满足
．由此可求出故λ的取值范围．
解答：解：①当λ=0时，
a_n+1=a_n，
∴

…
=
以上各式相乘得出
又a₁=1，
∴a_n=．
a₂₀=1/20
②记b_n=（n=1，2，），根据题意可知，且λ≠n（n∈N^*），这时总存在n₀∈N^*，满足：当n≥n₀时，b_n＞0；
当n≤n₀-1时，b_n＜0．所以由a_n+1=b_na_n及a₁=1＞0可知，若n₀为偶数，
则a_n0＜0，从而当n＞n₀时，a_n＜0；若n₀为奇数，则a_n0＞0，
从而当n＞n₀时a_n＞0．因此“存在m∈N^*，当n＞m时总有a_n＜0”
的充分必要条件是：n₀为偶数，
记n₀=2k（k=1，2，），则λ满足．
故λ的取值范围是λ∈（2k-1，2k），
故答案为：1/20，（2k-1，2k），（k=1，2，），