题目内容
如图，四边形
是正方形，
，
，
，
．
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）若
与
所成的角为
，求二面角
的余弦值．
【答案】
①见解析②
【解析】
试题分析：（I）要证面面垂直,只要证明线面垂直,只要证明线线垂直:即找到直线
（II）由于选取
为坐标原点建立空间直角坐标系,由于底面直角梯形只有上下底边的关系,直角腰边长
需要用
成
角这个等式确定的,进一步计算出多面体顶点坐标,利用空间向量计算出两个平面的法向量,再求二面角的余弦值.
试题解析：（I）
平面
，且
平面，
，
又
是正方形，
，而梯形
中
与相交，
平面，
又
平面，
平面
平面
4分
（II）
平面，则
，，
又
，
，
，
以点为原点，
依次为
轴，建立空间直角坐标系，
不妨设
，
.
则
，
，
，
，
．6分
，
，
由
与所成的角为
，
得
解得
． ．8分
，
，
求得平面
的一个法向量是
； ．．9分
，，
求得平面
的一个法向量是
； ．．10分
则
， ．．11分
故二面角
的余弦值为 ．12分
（其他做法参照给分）
考点：1.线面位置关系垂直的判定与性质;2.空间向量;3.异面直线成角;4二面角.
练习册系列答案
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如图，四边形
是正方形，
，
，
求证：（1）平面
∥平面
；（2）平面
^平面
是正方形，
为对角线
和
的交点，
，
为
的中点；
；
.
是正方形，
，
，
，
平面
；
的高
