Question

已知可行域的外接圆C₁与x轴交于点A₁、A₂，椭圆C₂以线段A₁A₂为长轴，离心率
（1）求圆C₁及椭圆C₂的方程
（2）设椭圆C₂的右焦点为F，点P为圆C₁上异于A₁、A₂的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线x=2于点Q，判断直线PQ与圆C₁的位置关系，并给出证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可知，可行域是以为顶点的三角形．因为，所以△A₁A₂M为直角三角形，外接圆C₁的方程为x²+y²=2．设椭圆的方程为，由，，能求出椭圆C₂的方程．
（2）设，当x=1时，OP⊥PQ，直线PQ与圆C₁相切．当．当x=0时，OP⊥PQ．当，OP⊥PQ．综上，当时，故直线PQ始终与圆C₁相切．
解答：解：（1）由题意可知，可行域是以为顶点的三角形（1分）
因为
∴△A₁A₂M为直角三角形
∴外接圆C₁是以原点O为圆心，线段|A₁A₂|=为直径的圆
故其方程为x²+y²=2（3分）
设椭圆的方程为∵∴
又∴c=1，可得b=1
故椭圆C₂的方程为（5分）
（2）直线PQ始终与圆C₁相切（6分）
设
当x=1时，P（1，1）或P（1，-1），此时Q（2，0）
若k_OP•k_PQ=-1∴OP⊥PQ
若k_OP•k_PQ=-1∴OP⊥PQ
即当x=1时，OP⊥PQ，直线PQ与圆C₁相切（8分）
当∴
所以直线OQ的方程为，因此点Q的坐标为（2，（9分）
∵（10分）
∴当x=0时，k_PQ=0，OP⊥PQ
∴当，
∴k_OP•k_PQ=-1OP⊥PQ
综上，当时，OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆C₁相切（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．